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Matemática: Números Complexos

Por Dificuldade Zero - quinta-feira, 7 de maio de 2015 Sem comentários
O conjunto dos números complexos abrange todos os outros conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais). Veja na imagem:



No conjunto dos números complexos, existe solução para raízes quadradas com números negativos.

Observação: trataremos desse assunto superficialmente, pois é um conteúdo muito extenso e aqui apresentamos resumos (sem demonstração). É necessário, portanto, que você já possua um conhecimento prévio da matéria (mesmo que pequeno).

Unidade Imaginária

A unidade imaginária é representada pela letra i.

Potências de I

Por padrão, i² é considerado -1. Portanto temos que:

√i² = √-1
i = √-1


As potências serão essas:
i^0 = 1 (todo número elevado a zero é 1)
√-1 = i
= (√-1)*(√-1) = -1
= i² * i = -1√-1 = -√-1 = -i

Se a sequência continuar, os números irão se repetir sempre na mesma ordem: 1, i, -1, -i. Veja:

i^4 = i³ * i¹ = i * -i = -i² = -(-1) = 1.
i^5 = i³ * i² = -i * -1 = i.

E assim por diante. Os números se repetem de 4 em 4. Sabendo disso, podemos determinar qualquer potência de i facilmente. Dividimos a potência de i e consideramos apenas o resto. O resto obtido (de um quociente de número inteiro) será a nova potência.

Exemplo: Dê o valor de i^254.

Resolução: Dividimos 254 por 4. Teremos um resto de valor 2. Portanto i^254 = i².

Resposta: i^254 = -1

Forma Algébrica de um Número Complexo

Z = a + bi

Sendo:

Z = número complexo

a = parte real

bi = parte imaginária

Imaginário puro: se a = 0, dizemos que Z é um imaginário puro.

Real: se b = 0, dizemos que Z é um número real.

Conjugado

O conjugado de um número complexo possui sua parte imaginária com sinal trocado. O conjugado de um número Z é representado por z̅ (com um traço em cima). Por exemplo:


z1 = 3 + 4i

z̅1 = 3 - 4i

Propriedades da Forma Algébrica

1. Adição -> Z1 + Z2 = soma-se os termos semelhantes (a + a; b.i + bi).

2. Subtração -> Z1 - Z2 = subtraí-se os termos semelhantes (a - a; bi - bi).

3. Multiplicação -> Z1*Z2 = multiplica-se normalmente através da propriedade distributiva da multiplicação (a+bi) * (c+di).

4. Divisão -> Z1 : Z2 = multiplicamos a divisão pelo conjugado do divisor (nesse caso, Z2) e resolvemos.

Por exemplo, considerando:

Z1 = 5 + 8i

Z2 = 1 + 2i

Resolvendo Z1 dividido por Z2:

 

5. Potenciação -> Z1^n = multiplicamos Z1 por Z1 "n" vezes através da propriedade distributiva da multiplicação (a+bi)*(a+bi)...*(a+bi). Se"n" for um número alto, a conta dará trabalho. É possível resolver números mais elevados com conhecimentos de outra área da matemática, mas não vamos estender muito a explicação.

6. Radiciação -> não é definida na forma algébrica. É necessário transformar para a forma trigonométrica (ver "conversão para forma trigonométrica" e "propriedades da forma trigonométrica -> radiciação").


Plano de Argand-Gauss

O plano de Argand-Gauss é usado para representar os números complexos de uma forma semelhante ao plano cartesiano.




Lembrando-se da forma: a + bi

No eixo imaginário ficam os valores de b. No eixo real ficam os valores de a.


O ponto P, que é a coordenada de um número complexo a + bi, está na forma (a, b). O ponto P é chamado de afixo de um número complexo.

|Z| é o módulo do número complexo, chamado também de ρ. (ver "Módulo de um Número Complexo")

Ө é o ângulo do número complexo, também chamado de argumento.


Conversão para Forma Trigonométrica

(ver "forma trigonométrica de um número complexo")


A conversão pode ser feita a partir dessas fórmulas:

tgӨ = cateto oposto/cateto adjacente -> b/a

senӨ = cateto oposto/hipotenusa -> b/ρ

cosӨ = cateto adjacente/hipotenusa -> a/ρ

Explicação: a parte real (a) está no eixo real e a parte imaginária (b) no eixo imaginário. Portanto temos que:

cateto oposto de Ө = b

cateto adjacente de Ө = a

hipotenusa = ρ

Veja um exemplo:

1) Transforme Z = 2√3 + 2i na forma trigonométrica.

a = 2√3
b = 2

tgx = √3/3 -> x = 30º

(ver "módulo de um número complexo")

ρ² = √[(2√3)² + 2²]
ρ = √[(4.3) + 4]
ρ = √(12+4)
ρ = √16
ρ = 4

Forma trigonométrica:

Z = 4(cos30º + i.sen30º)

Forma Trigonométrica de um Número Complexo

A outra forma de representação de um número complexo é a forma trigonométrica ou forma polar.

Z = |Z|(cosӨ+i.senӨ)

Z = ρ(cosӨ+i.senӨ)

Módulo de um Número Complexo


O módulo de um número complexo é definido pela letra ρ (rô). Ele pode ser obtido através da fórmula:

ρ² = a² + b²
ρ² = √(a²+b²)
ρ = √(a²+b²)

Conversão da Forma Trigonométrica para a Forma Algébrica

A regra é simples nesse caso:
- Multiplicamos o módulo pelos valores dos ângulos (distributiva).

Veja um exemplo:
1) Converta o número complexo Z para a forma algébrica.

Obs: é necessário ter noção de trigonometria para saber os valores dos ângulos.

Z = 5√2(cos315º + i.sen315º)

360 - 315 = 45º
cos315º = + cos45º
sen315º = - sen45º

Z = 5√2(cos45º - i.sen45º)
Z = 5√2(√2/2 - √2/2i)
Z = 5 - 5i

Propriedades da Forma Trigonométrica

1. Adição: não é definido. É necessário transformar para a forma algébrica.

2. Subtração: não é definido. É necessário transformar para a forma algébrica.

3. Multiplicação: multiplica-se os módulos e soma-se os argumentos (ângulos) -> Z1*Z2 = ρ1*ρ2[cos(Ө1-Ө2) + i.sen(Ө1-Ө2)].

4. Divisão: divide-se os módulos e subtraí-se os argumentos (ângulos) -> Z1/Z2 = ρ1/ρ2[cos(Ө1-Ө2) + i.sen(Ө1-Ө2)].

5. Potenciação: potencia-se o módulo a "n" e multiplica os argumentos por "n" -> Z1^n = ρ^n[cos(Ө.n)+i.sen(Ө.n)]. "n" é a potência do número complexo.

5. Radiciação: a radiciação é a mais complicada. Segue a fórmula e explicação abaixo:


Na radiciação existe mais de uma resposta. É necessário calcular os diversos valores do ângulo para os vários valores de K.

Por exemplo, para raiz quadrada temos que calcular os resultados para k=0; k=1. O valor de k sempre irá até "n-1" (no caso de raiz quadrada, ficou 2-1).

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